Question

如图，在扇形中，半径长，;以为直径作半圆，点是弧上的一个动点，与半圆交于点，⊥于点，与交于点，连结.
 
（1）求证：；
（2）设, ，试求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（3）若点落在线段上，当∽时，求线段的长度.

Answer 1

（1）连结AD，根据圆的基本性质可得AD=AB，再根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可证得结论；（2）y＝，0≤x≤10；（3）

试题分析：（1）连结AD，根据圆的基本性质可得AD=AB，再根据圆周角定理可得∠ACB＝90°，即AC⊥BD，即可证得结论；
（2）在Rt△ADG中，根据勾股定理可表示出DG的长，再证得Rt△AFG∽Rt△DBG，根据相似三角形的性质即可证得结论；
（3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时，由Rt△AFG∽Rt△ABC，可证得Rt△FOG∽Rt△AFG，再根据相似三角形的性质求解即可.
（1）连结AD

∵点D、B在弧BE上
∴AD=AB
∵点C在半圆O上，AB为半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，即AC⊥BD，
∴DC＝BC；
（2）∵AD=AB=10，AG=x，
∴BG=10-x，
∵DG⊥AB于点G，
∴在Rt△ADG中，DG²=AD²-AG²=100-x²，
∴DG=
∵∠CAB+∠B＝∠D+∠B＝90°，
∴∠FAG＝∠D，
∴Rt△AFG∽Rt△DBG，
∴FG/AG=BG/DG，
∴FG/x="(10-x)/" ，
∴FG="x(10-x)/"
则y＝FG²=.
其中x的取值范围为0≤x≤10；
（3）在点D运动过程中，若点G落在线段OB上，且△FOG∽△ABC时，
∵Rt△AFG∽Rt△ABC，
∴Rt△FOG∽Rt△AFG，
∴FG²=AG·OG=x（x-5），
∴=x（x-5），解得：x=
经检验可知：AG=.
综上所述，当△FOG∽△ABC时，AG＝.
点评：此类问题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般以压轴题形式出现，难度较大.