Question

已知：如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C_3…的半径分别是r₁、r₂、r_3…，则当r₁=1时，则r₂₀₁₂=

1. A.
   3²⁰¹¹
2. B.
   3²⁰¹²
3. C.
   3²⁰¹⁰
4. D.
   3

Answer 1

A
分析：设三个半圆与直线OC分别相切于A、B、C点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再由直线OC的方程得到直线的倾斜角为30°，根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC₁=2C₁A，0C₂=2C₂B，0C₃=2C₃C，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r₁、r₂、r₃间的关系，由r₁的值可得出r₂、r₃的值，按照此规律可归纳出r₂₀₁₂的值．
解答：
解：连接C₁A，C₂B，C₃C，
∵三半圆都与直线OC相切，
∴C₁A⊥OA，C₂B⊥OB，C₃C⊥OC，
又∵三个半圆依次与直线y=x相切并且圆心都在x轴上，
∴y=x的倾斜角是30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC₁=2C₁A=2r₁，0C₂=2C₂B=2r₂=OC₁+r₁+r₂=3r₁+r₂，0C₃=2C₃C=OC₁+r₁+2r₂+r₃=2r₃，
∴2r₂=3r₁+r₂，
∴r₂=3r₁，
∵r₁=1=3⁰，∴r₂=3=3¹，
∴OC₁=2，0C₂=2r₂=6r₁=6，0C₃=18，
∴r₃=9=3²，
∴按此规律归纳得：r_n=3^n-1，
则r₂₀₁₂=3²⁰¹¹．
故选A
点评：此题考查了两圆相切的性质，切线的性质，含30°直角三角形的性质，一次函数的性质，两圆了转化及数形结合的思想，锻炼了学生归纳总结的能力，其中当两圆外切时，两圆的圆心距等于两半径之和；两圆内切时，两圆圆心距等于两半径之差，熟练掌握性质是解本题的关键．