Question

6．（1）如图①，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，且∠A=40°，求∠BOC的度数；
（2）如图②，△A′B′C′的两个外角∠C′B′D，∠B′C′E的平分线交于点O′，且∠A′=40°，求∠B′O′C′的度数；
（3）由（1）（2）可以发现∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A=∠A′=n°，则∠BOC与∠B′O′C′之间是否还具有这样的关系？为什么？

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．
（2）先根据外角平分线的性质求出∠B′C′O′、∠O′B′C′与∠A′的关系，再由三角形内角和定理解答即可；
（3）根据（1）（2）中所得的∠BOC和∠B′O′C′与∠A和∠A′的关系可得答案．

解答 解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）
=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
当∠A=40°时，
∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A=110°．

（2）∵B′O′、C′O′是△ABC的两个外角的平分线，
∴∠B′C′O′=$\frac{1}{2}$（∠A′+∠A′B′C′），∠O′B′C′=$\frac{1}{2}$（∠A′+∠A′C′B′），
∵∠B′C′A′+∠A′B′C′=180°-∠A′，
∴∠B′O′C′=180°-∠O′B′C′-∠O′C′B′，
=180°-$\frac{1}{2}$（∠A′+∠A′B′C′+∠A′+∠A′C′B′），
=180°-$\frac{1}{2}$（180°+∠A′），
=90°-$\frac{1}{2}$∠A′．
∵∠A′=40°，
∴∠B′O′C′=90°-20°=70°；

（3）∠BOC-∠B′O′C′=∠A=40°，
∠BOC-∠B′O′C′=∠A=n°，
∵∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，∠B′O′C′=90°-$\frac{1}{2}$∠A′，
∴∠BOC-∠B′O′C′=∠A=n°．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，以及三角形内角与外角的关系，熟知三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．