Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=4

3

，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）连接OA，由AB=AC，则∠C=∠B=30°，∠AOC=60°，从而得出∠OAC=90°，则直线CA与⊙O相切；
（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，可求得AD和DE，即可得出△ABC的面积，再减去扇形AOD和△AOB的面积即可．

解答：解：（1）连接OA，∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∵∠B=30°，
∴∠C=30°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=90°，
∴直线CA与⊙O相切；

（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，
∵AB=4

3

，
∴AD=OA=OB=OD=4，
∵∠DAE=30°，
∴DE=2，
∴△ABC面积12

3

，
扇形AOD面积

8

3

π，
△ABO面积4

3

，
∴阴影面积8

3

-

8

3

π．

点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算，要熟练掌握扇形的面积公式，是解题的关键．