Question

19．问题再现：
如图1：△ABC中，AF为BC边上的中线，则S_△ABF=S_△ACP=$\frac{1}{2}$S_△ABC
由这个结论解答下列问题：
问题解决：
问题1：如图2，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，则S_△BOC=S_{四边形ADOE}．
 分析：△ABC中，CD为AB边上的中线，则S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，BE为AC边上的中线，则S_△ABE=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴S_△BCD=S_△ABE
∴S_△BCD-S_△BOD=S_△ABE-S_△BOD
又∵S_△BOC=S_△BCD-S_△BOD，S_{四边形ADOE}=S_△ABE-S_△BOD
即S_△BOC=S_{四边形ADOE}
问题2：如图3，△ABC中，CD为AB边上的中线，BE为AC边上的中线，AF为BC边上的中线．
（1）S_△BOD=S_△COE吗？请说明理由．
（2）请直接写出△BOD的面积与△ABC的面积之间的数量关系：S_△BOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC．
问题拓广：
（1）如图4，E、F分别为四边形ABCD的边AD、BC的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S_阴=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}．
（2）如图5，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点，请直接写出阴影部分的面积与四边形ABCD的面积之间的数量关系：S_阴=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}．
（3）如图6，E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AD、BC、AB、CD的中点，
若S_△AME=1、S_△BNG=1.5、S_△CQF=2、S_△BFH△DFH=2.5，则S_阴=7．

Answer 1

分析 问题解决：（1）只要找准了图形的间的底边和底边之间的关系，高和高之间的关系，再根据面积公式来计算就不难理解其中的规律了；
（2）只要找准了图形的间的底边和底边之间的关系，高和高之间的关系，三角形的三条中线的交点分每条中线成1：2关系，再根据面积公式来计算就不难理解其中的规律了；
问题拓广：
（1）借助问题再现的结论S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可，
（2）借助问题解决（1）中的结论S_△BOD=S_△COE即可；
（3）借助问题解决（1）中的结论S_△BOD=S_△COE即可；

解答 解：问题2：：S_△BOD=S_△COE成立，
理由：∵△ABC中，CD为AB边上的中线，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∵BE为AC边上的中线，
∴S_△CBE=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∴S_△BCD=S_△CBE
∵S_△BCD=S_△BOD+S_△BOC，S_△CBE=S_△COE+S_△BOC
∴S_△BOD=S_△COE
（2）由（1）有S_△BOD=S_△COE，
同（1）方法得，S_△BOD=S_△AOD，
S_△COE=S_△AOE，
S_△BOF=S_△COF，
∴S_△BOD=S_△COE=S_△AOE=S_△AOD，
∵点O是三角形三条中线的交点，
∴OA=2OF，
∴S_△AOC=2S_△COF=S_△AOE+S_△COE=2S_△COE，
∴S_△COF=S_△COE，
∴S_△BOD=S_△COE=S_△AOE=S_△AOD=S_△BOF=S_△COF，
∴S_△BOD=$\frac{1}{6}$S_△ABC，
故答案为$\frac{1}{6}$
问题拓广：
（1）如图4：

连接BD，由问题再现：
S_△BDE=$\frac{1}{2}$S_△ABD，
S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴S_阴影=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}，
故答案为 $\frac{1}{2}$，
（2）如图5：

连接BD，由问题解决：
S_△BMD=$\frac{1}{3}$S_△ABD，S_△BDN=$\frac{1}{3}$S_△BCD，
∴S_阴影=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}，
故答案为$\frac{1}{3}$；
（3）如图6，

连接AC，BD
由上面的结论得
∵G是四边形ABCD的边AB的中点，
∴S_△AGC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，S_△BGC=$\frac{1}{2}$S_△ABC
∵H是四边形ABCD的边CD的中点
∴S_△AHC=$\frac{1}{2}$S_△ACD，S_△AHD=$\frac{1}{2}$S_△ACD
∴S_{四边形AGCH}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}
同样的方法得到S_{四边形BFDE}=$\frac{1}{2}$S_{四边形ABCD}
∴S_{四边形AGCH}=S_{四边形BFDE}
∴S_{四边形AGCH}=S_△ABE+S_△DFC
∴S_阴=S₁+S₂+S₃+S₄=1+1.5+2+2.5=7．
故答案为7．

点评 此题是面积与等积变形问题，集中考查了三角形的面积公式，解本题的关键是面积之间的转化．