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某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要结论．一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少 $数学公式$ ，纵坐标增加 $数学公式$ ，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加 $数学公式$ ，纵坐标增加 $数学公式$ ，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

解：（1）y=ax²+2x+3= $\text{[math]}$
抛物线y=ax²+2x+3的顶点坐标为 $\text{[math]}$
∴抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式为y=x+3
（2）当a≠0时，顶点的横坐标 $\text{[math]}$
∴（0，3）点不是抛物线的顶点．
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（ $\text{[math]}$ ）
由题意得A（ $\text{[math]}$ ）
把x= $\text{[math]}$ 代入y=ax²+bx+c=a（ $\text{[math]}$ ）²+b（ $\text{[math]}$ ）+c= $\text{[math]}$
∴点A在抛物线y=ax²+bx+c上，同理点B也在抛物线y=ax²+bx+c上．
分析：（1）首先将抛物线y=ax²+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式；
（2）观察（1）中的顶点坐标， $\text{[math]}$ ，即横坐标≠0，则纵坐标≠3；
（3）首先写出抛物线的一般形式，再转化成顶点式，将顶点的横坐标增加 $\text{[math]}$ ，代入一般式，验证纵坐标也增加 $\text{[math]}$ ．
点评：本题是二次函数的综合题．主要考查同学们对顶点式的理解，即灵活运用能力，属于一道开发性题目．

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，纵坐标增加

，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

，纵坐标增加

，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求出当实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由；
（3）在他们第二个发现的启发下，运用“一般-一特殊-一般”的思想，你还能发现什么？你能用数学语言将你的猜想表述出来吗？你的猜想能成立吗？若能成立请说明理由．

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某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性质：弧长比等于半径比、面积比等于半径比的平方…．请你协助他们探索这个问题．
（1）写出判定扇形相似的一种方法：若

，则两个扇形相似；
（2）有两个圆心角相等的扇形，其中一个半径为a、弧长为m，另一个半径为2a，则它的弧长为

；
（3）如图1是一完全打开的纸扇，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB为30cm，现要做一个和它形状相同、面积是它一半的纸扇（如图2），求新做纸扇（扇形）的圆心

角和半径．

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某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时，发现了两个重要的结论：一是发现抛物线y=ax²+2x+3（a≠0），当实数a变化时，它的顶点都在某条直线上；二是发现当实数a变化时，若把抛物线y=ax²+2x+3的顶点的横坐标减少

，纵坐标增加

，得到A点的坐标；若把顶点的横坐标增加

，纵坐标增加

，得到B点的坐标，则A、B两点一定仍在抛物线y=ax²+2x+3上．
（1）请你协助探求实数a变化时，抛物线y=ax²+2x+3的顶点所在直线的解析式；
（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗？并说明理由．

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14、某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．请写出一个适当的判定两个扇形相似的方法：

两个圆心角相等或半径与弧的比对应成比例

．

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某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数y=

（k为非零常数）的图象上的一动点．
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（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；
（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）

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