Question

如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)连接AF，BF，求∠ABF的度数；

(3)如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC＝90°即可证明BC是⊙O的切线； 　　(2)连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数； 　　(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE＝CB，可求出EG＝BE＝5，又Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE＝2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，进而求出⊙O的半径． 　　解答： 　　(1)证明：连接OB 　　∵OB＝OA，CE＝CB， 　　∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC 　　又∵CD⊥OA 　　∴∠A＋∠AED＝∠A＋∠CEB＝90° 　　∴∠OBA＋∠ABC＝90° 　　∴OB⊥BC 　　∴BC是⊙O的切线． 　　(2)连接OF，AF，BF， 　　∵DA＝DO，CD⊥OA， 　　∴△OAF是等边三角形， 　　∴∠AOF＝60° 　　∴∠ABF＝∠AOF＝30° 　　(3)过点C作CG⊥BE于点G，由CE＝CB， 　　∴EG＝BE＝5 　　又Rt△ADE∽Rt△CGE 　　∴sin∠ECG＝sin∠A＝， 　　∴CE＝＝13 　　∴CG＝＝12， 　　又CD＝15，CE＝13， 　　∴DE＝2， 　　由Rt△ADE∽Rt△CGE得＝ 　　∴AD＝·CG＝ 　　∴⊙O的半径为2AD＝． 　　点评：本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及勾股定理和相似三角形的判定和性质，题目的综合性不小，难度也不小．

提示：

考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．