Question

7．如图，点M是△ABC的内心，AM的延长线交边BC于点D，交△ABC外接圆⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）若AB=2CE，AD=6，求CD的长．
（2）连接B、M两点，则∠BME和∠EBM有怎样的数量关系，说明理由．
（3）B、C、M三个点可以确定一个圆吗？若能，那么它们确定的圆的圆心和半径分别是什么？若不能确定一个圆，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可知：∠BAE=∠BCE，所有易证△ABD∽△CED，利用对应边的比相等即可求出CD的长度；
（2）因为M是△ABC的内心，所以AE、BM分别平分∠BAC、∠ABC，所以∠BAE=∠EBC，∠ABM=∠CNM，所以∠EBM=∠EMB；
（3）任意一个三角形都能确定一个圆，且该圆的圆心是三角形任意两边的垂直平分线的交点，由（2）证明过程可知OE是BC的垂直平分线，BM的垂直平分线过点E，所以圆心是点E，半径为BE．

解答 解：（1）∵$\widehat{BE}=\widehat{BE}$，
∴∠BAE=∠BCE，
∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{AD}{CD}$，
∵AB=2CE，AD=6，
∴$\frac{2CE}{CE}=\frac{6}{CD}$，
∴CD=3；

（2）∵M是△ABC的内心，
∴AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
∴∠BAE=∠EBC，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∴∠EBC+∠CBM=∠BAE+∠ABM，
∴∠EBM=∠EMB；

（3）B、C、M三个点可以确定一个圆．
该圆的圆心是BC、BM的垂直平分线的交点，
连接OE，
∴由（2）可知：$\widehat{BE}=\widehat{CE}$，
由垂径定理可知：OE垂直平分线段BC，
又由（2）可知：∠EBM=∠EMB，
∴△BEM是等腰三角形，
∴由三线合一可知：线段BM的垂直平分线必过点E，
∴它们确定的圆的圆心为点E，半径为BE（或ME、EC）的长度．

点评 本题考查三角形外心与内心的性质，涉及圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质等知识，考查学生灵活运用知识的能力．