Question

关于二次函数y=2x²-mx+m-2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y=-2（x-1）²图象上．其中正确的序号是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④

Answer 1

【答案】分析：由二次函数的解析式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，将a，b及c的值代入b²-4ac，利用完全平方公式化简后，根据完全平方式恒大于等于0，可得出b²-4ac大于等于0，进而确定出该抛物线与x轴有交点，故①正确；将x=1代入抛物线解析式，求出y=0，可得出此抛物线恒过（1，0），故②正确；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，设方程的两个解分别为x₁，x₂，利用根与系数的关系表示出x₁+x₂，x₁x₂，AB的长可以用|x₁-x₂|表示，利用二次根式的化简根式=|a|变形后，再利用完全平方公式化简，将表示出的x₁+x₂及x₁x₂代入，化简后根据m大于6，可得出AB的长大于1，故③正确；利用顶点坐标公式表示出抛物线的顶点坐标，代入y=-2（x-1）²中经验，可得出抛物线的顶点在y=-2（x-1）²图象上，故④正确，综上，得到正确的序号．
解答：解：二次函数y=2x²-mx+m-2，
∵a=2，b=-m，c=m-2，
∴b²-4ac=（-m）²-8（m-2）=（m-4）²≥0，
则抛物线与x轴有交点，故①正确；
∵当x=1时，y=2-m+m-2=0，
∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；
设A的坐标为（x₁，0），B（x₂，0），
令y=0，得到2x²-mx+m-2=0，
∴x₁+x₂=，x₁x₂=，
∴AB=|x₁-x₂|===||，
当m＞6时，可得m-4＞2，即＞1，
∴AB＞1，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（，），
∴将x=代入得：y=-2（-1）²=-2（-+1）=，
∴抛物线的顶点坐标在y=-2（x-1）²图象上，故④正确，
综上，正确的序号有①②③④．
故选A
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，涉及的知识有：抛物线与x轴交点的判断方法，根与系数的关系，顶点坐标公式，以及判断一个点是否在抛物线上，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．