Question

（2012•青岛一模）某软件商店经销一种销售成本为每盘40元的益智游戏软件，根据市场分析，若按每盘50元销售，一个月能售出500盘；销售单价每涨1元，月销售量就减少10盘．
（1）设销售单价为每盘x（x≥50）元，月销售利润为y元，求y与x的关系式；
（2）当销售单价定为每盘多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
（3）当销售单价定为每盘55元时，计算月销售量和月销售利润；
（4）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少？
（5）要使销售利润高于8000元，涨价幅度应在什么范围内？

Answer 1

分析：（1）设销售单价为每盘x元，则每盘利润为（x-40）元，月销售量为[500-10（x-50）]元，根据月销售利润为y=
每盘利润×月销售量，列出y与x的关系式；
（2）将（2）的函数关系式写成顶点式，可求月销售最大利润及此时的销售单价；
（3）把x=55代入式子[500-10（x-50）]，y=（x-40）[500-10（x-50）]中，可求月销售量和月销售利润；
（4）将y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，求x的值，再求销售成本；
（5）根据（4）中所求x的两个值，求涨价幅度．

解答：解：（1）依题意，得y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x²+1400x-40000，
（2）由（1）得y=-10x²+1400x-40000=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，∴当x=70时，y_最大=9000，
即当销售单价定为每盘70元时，月销售利润最大，最大利润是9000元；
（3）当x=55时，[500-10（x-50）]=450，y=-10（55-70）²+9000=6750，
即当销售单价定为每盘55元时，月销售量为450盘，月销售利润为6750元；
（4）把y=8000代入y=-10（x-70）²+9000中，
得-10（x-70）²+9000=8000，解得x₁=80，x₂=60，
销售成本为40×[500-10（x-50）]，
当x=80时，40×[500-10（x-50）]=8000＜10000，
当x=60时，40×[500-10（x-50）]=16000＞10000，
所以，此时销售单价为每盘80元；
（5）由（4）可知，当y=8000时，x₁=80，x₂=60，
二次函数图象开口向下，要使销售利润高于8000元，则60＜x＜80，
即10＜x-50＜30，
所以，涨价幅度应大于10元，且小于30元．

点评：本题考查了二次函数的应用．关键是由月销售利润为y=每盘利润×月销售量，列出y与x的关系式，利用二次函数的性质解题．