Question

15．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，点F在AB上，DF=BE，BE、DF交于点O．若∠A=120°，∠AFD=50°，求∠BCO的度数．

Answer 1

分析 过C作CM⊥BE于M，CN⊥DF于N，根据S_△CDF=$\frac{1}{2}$DF•CN=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD，S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CM=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD得到$\frac{1}{2}$DF•CN=$\frac{1}{2}$BE•CM，推出CM=CN，根据角平分线的性质得到OC平分∠MON，根据角平分线的定义得到∠1=∠3=30°，由三角形的外角的性质得到∠FOB=∠2-∠1=20°，于是得到结论．

解答 解：过C作CM⊥BE于M，CN⊥DF于N，
∵S_△CDF=$\frac{1}{2}$DF•CN=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD，S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•CM=$\frac{1}{2}$S四边形ABCD，
∴$\frac{1}{2}$DF•CN=$\frac{1}{2}$BE•CM，
∵DF=BE，
∴CM=CN，
∵CM⊥OM，CN⊥ON，
∴OC平分∠MON，
∵AD∥BC，∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠3=30°，
∵∠AFD=50°，
∴∠FOB=∠2-∠1=20°，
∴∠MON=180°-∠FOB=160°，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}∠$MON=80°，
∴∠BCO=180°-80°-30°=70°．

点评 本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的计算，角平分线的性质，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．