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    （2012•延庆县二模）（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果
    AB=BD+CD
    AB=BD+CD
    ；
    （2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；
    （3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB与BD+CD数量关系（用含β的式子表示）．
    分析：（1）延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，然后证明△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB，∠AEB=60°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等边三角形的三条边都相等得解；
    （2）过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，然后证明△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB=AE，∠AEB=45°，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据等腰直角三角形斜边与直角边的关系得解；
    （3）过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AB=AE，然后证明∠DCE=∠DEC，根据等角对等边的性质可得DE=CD，从而得到BE=BD+CD，再根据∠ABD的余弦等于邻边比斜边列式整理即可得解．
    解答：解：（1）如图1，延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，
    ∵∠ABD=60°，
    ∴△ABE是等边三角形，
    ∴AE=AB，∠AEB=60°，
    ∵AB=AC，
    ∴AC=AE，
    ∴∠ACE=∠AEC，
    ∵∠ACD=60°，
    ∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
    即∠DCE=∠DEC，
    ∴DE=CD，
    ∴BE=BD+DE=BD+CD，
    ∴AB=BD+CD；
    故答案为：AB=BD+CD；

    （2）猜想：AB=
    		2
    2
    （BD+CD）．
    理由如下：如图2，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，
    ∵∠ABD=45°，
    ∴△ABE是等腰直角三角形，
    ∴AE=AB，∠AEB=45°，
    ∵AB=AC，
    ∴AC=AE，
    ∴∠ACE=∠AEC，
    ∵∠ACD=45°，
    ∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
    即∠DCE=∠DEC，
    ∴DE=CD，
    ∴BE=BD+DE=BD+CD，
    在Rt△ABE中，AB=BE•cos∠ABD=（BD+CD）•cos45°=
    		2
    2
    （BD+CD），
    即AB=
    		2
    2
    （BD+CD）；

    （3）如图3，过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，
    则AE=AB（等腰三角形三线合一），
    ∴∠AEB=∠ABD=β，
    ∵AB=AC，
    ∴AC=AE，
    ∴∠ACE=∠AEC，
    ∵∠ACD=β，
    ∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
    即∠DCE=∠DEC，
    ∴DE=CD，
    ∴BE=BD+DE=BD+CD，
    在Rt△ABF中，AB•cos∠ABD=
    1
    2
    BE，
    即AB•cosβ=
    1
    2
    （BD+CD）．
    点评：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据角度的不同，作辅助线构造出等腰△ACE，把BD+CD转化为BE是解题的关键，也是本题的难点．
    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•延庆县二模）已知：如图，直线y=
    1
    3
    x    与双曲线y=
    k
    x
    交于A、B两点，且点A的坐标为（6，m）．
    （1）求双曲线y=
    k
    x
    的解析式；
    （2）点C（n，4）在双曲线y=
    k
    x
    上，求△AOC的面积；
    （3）在（2）的条件下，在x轴上找出一点P，使△AOC的面积等于△AOP的面积的三倍．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2012•延庆县二模）阅读下面材料：
    小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
    小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
    请你回答：AP的最大值是
    6
    6
    ．
    参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
    如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是
    2
    		2
    +2
    		6
    （或不化简为
    		32+16
    		3
    ）
    2
    		2
    +2
    		6
    （或不化简为
    		32+16
    		3
    ）
    ．（结果可以不化简）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•延庆县二模）已知：关于x的一元二次方程mx2-（2m+2）x+m-1=0
    （1）若此方程有实根，求m的取值范围；
    （2）在（1）的条件下，且m取最小的整数，求此时方程的两个根；
    （3）在（2）的前提下，二次函数y=mx2-（2m+2）x+m-1与x轴有两个交点，连接这两点间的线段，并以这条线段为直径在x轴的上方作半圆P，设直线l的解析式为y=x+b，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围．

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