Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求EF的长度；
（2）作CD⊥AB，垂足为D，CD与BE相交于G，试说明：CE=CG；
（3）连接FG，试说明：四边形CEFG是菱形．

Answer 1

解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ACB=90°，EF⊥AB，垂足为F，
∴EF=CE．
在△BFE与△BCE中，∠C=∠BFE=90°，
，
∴△BFE≌△BCE，
∴BF=BC=8．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∴AF=AB-BF=2．
设EF=x，则CE=x，AE=6-x，
在直角△AEF中，由勾股定理，得AE²=EF²+AF²，
∴（6-x）²=x²+2²，
解得x=；

（2）∵在△BCE中，∠CEB=90°-∠CBE，
∠CGE=∠DGB=90°-∠DBG，
∠CBE=∠DBG，
∴∠CEB=∠CGE，
∴CE=CG；

（3）∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，
∵EF=CE，CE=CG，∴EF=CG，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=CG，
∴?CEFG是菱形．
分析：（1）先根据角平分线的性质，得出EF=CE，然后在直角△AEF中，运用勾股定理即可求出EF的长度；
（2）在△CEG中证明∠CEG=∠CGE即可得出结论；
（3）先根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CEFG是平行四边形，再根据菱形的定义证明出四边形CEFG是菱形．
点评：本题考查了角平分线的性质定理，勾股定理，等腰三角形的判定及菱形的判定，综合性较强，难度中等．