Question

16．如图①，将?ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN：y=$\frac{3}{4}$x-6沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被?ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

（1）填空：点C的坐标为（3，0）；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？B；（填“B”或“D”）
（2）点B的坐标为（-2，0），n=4，a=$\frac{40}{3}$；
（3）在平移过程中，求该直线扫过?ABCD的面积y与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据直线解析式求出点M、N的坐标，再根据图2判断出CM的长，然后求出OC，从而得到点C的坐标，根据被截线段在一段时间内长度不变可以判断出先经过点B后经过点D；
（2）根据图2求出BM=10，再求出OB，然后写出点B的坐标，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的长度，从而得到BC=CD，判断出?ABCD是菱形，再求出MN⊥CD，根据菱形的性质可知n=DO，根据向左平移横坐标减表示出平移后的直线解析式，把点D的坐标代入函数解析式求出t的值即为a；
（3）分三种情况分段讨论即可．

解答 解：（1）令y=0，则$\frac{3}{4}$ x-6=0，解得x=8，
令x=0，则y=-6，
∴点M（8，0），N（0，-6）
∴OM=8，ON=6，
由图2可知5秒后直线经过点C，
∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，
∴C（3，0），
∵10秒～a秒被截线段长度不变，
∴先经过点B；
故填：（3，0）；B
（2）由图2可知BM=10，
∴OB=BM-OM=10-8=2，
∴B（-2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∴BC=CD=5，
∴?ABCD是菱形，
∵$\frac{OC}{OD}=\frac{ON}{OM}=\frac{3}{4}$，
∴MN⊥CD，
∴n=DO=4
∵设直线MN向x轴负方向平移的速度为每秒1个单位的长度，
平移后的直线解析式为y=$\frac{3}{4}$ （x+t）-6，
把点D（0，4）代入得，$\frac{3}{4}$（0+t）-6=4，
解得t=$\frac{40}{3}$，
∴a=$\frac{40}{3}$；
故答案为：（1）（3，0），B；（2）（-2，0），4，$\frac{40}{3}$；
（3）当0≤t≤5时，y=0；                                        
当5＜t≤10，如图1，该直线与BC、CD分别交于F、E，FC=t-5，
∵直线CD的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴EF⊥CD，
∴△CEF∽△COD，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{EF}{OD}=\frac{CE}{OC}$，
∴$\frac{t-5}{5}=\frac{EF}{4}=\frac{CE}{3}$，
∴EF=$\frac{4（t-5）}{5}$，CE=$\frac{3（t-5）}{5}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×$\frac{4（t-5）}{5}$×$\frac{3（t-5）}{5}$=$\frac{6（t-5）^{2}}{25}$=$\frac{6}{25}$t²-$\frac{12}{5}$t+6，
当10＜t≤$\frac{40}{3}$，如图2，直线与AB、CD分别交于G、E，与射线CB交于F，FB=t-10，
∵△BGF∽△COD，
∴$\frac{BF}{CD}=\frac{GF}{OD}=\frac{BG}{OC}$
∴FG=$\frac{4（t-10）}{5}$，BG=$\frac{3（t-10）}{5}$，
y=S_△CEF-S_△BGF=$\frac{6（t-5）^{2}}{25}$-$\frac{6（t-10）^{2}}{25}$=$\frac{6}{25}$（10t-75）=$\frac{12}{5}$t-18，
当$\frac{40}{3}＜t＜\frac{55}{3}$时，如图3，BG=$\frac{3（t-10）}{5}$，AG=5-$\frac{3（t-10）}{5}$，
∵△EAG∽△DCO，
∵$\frac{AG}{OC}$=$\frac{EG}{OD}$，
∴DG=$\frac{4}{3}$×（5-$\frac{3（t-10）}{5}$），
∴y=20-$\frac{1}{2}×$（5-$\frac{3（t-10）}{5}$）×$\frac{4}{3}$×（5-$\frac{3（t-10）}{5}$）=$\frac{6}{25}\\;{t}^{2}$t²-$\frac{44}{5}$t-$\frac{182}{3}$，
当t≥$\frac{55}{3}$时y=20．
综上所述：
y=$\left\{\begin{array}{l}{0}&{（0≤t≤5）}\\{\frac{6}{25}{t}^{2}-\frac{12}{5}t+6}&{（5＜t≤10）}\\{\frac{12}{5}t-18}&{（10＜t≤\frac{40}{3}）}\\{\frac{6}{25}{t}^{2}-\frac{44}{5}t-\frac{182}{3}}&{（\frac{40}{3}＜t＜\frac{55}{3}）}\\{20}&{（t≥\frac{55}{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题是一次函数综合题型，主要利用了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，一次函数图象的平移，待定系数法求一次函数解析式，表示出平移后的直线MN的解析式是解题的关键，也是本题的难点．