Question

衢江区某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价 w₁与上市时间t的关系用图甲的一条折线表示；西红柿的种植成本 w₂与上市时间t的关系用图乙表示的抛物线段表示．
（1）求出图甲表示的市场售价 w₁与时间t的函数关系式；
（2）求出图乙表示的种植成本 w₂与时间t的函数关系式；
（3）市场售价减去种植成本为纯收益，当0＜t≤200时，何时上市西红柿纯收益最大？（售价与成本单位：元/百千克，时间单位：天）

Answer 1

分析：（1）根据图象甲，设出函数关系式，分别找出两个点的坐标，代入即可求出w与t的函数关系式；
（2）根据图象乙，利用顶点式，即可求出函数关系式；
（3）设纯收益为h，则纯收益=市场售价-种植成本，进而利用二次函数最值求法得出即可．

解答：解：（1）当0＜t≤200，将（0，300），（200，100）代入w=at+b得

b=300 200a+b=100

，
解得：

a=-1 b=300

，
∴AB所在直线解析式为：w₁=-t+300；
当200＜t≤300，
将（300，300），（200，100）代入w=ct+d得

300c+d=300 200c+d=100

，
解得：

c=2 b=-300

，
∴CB所在直线解析式为：w₁=2t-300；

（2）由图象可得出二次函数顶点坐标为；（150，100），代入解析式得：
w₂=k（t-150）²+100，再将（50，150）代入得出：
150=k（50-150）²+100，
解得：k=

1

200

，
∴w₂=

1

200

（t-150）²+100（0＜t≤300）；

（3）设纯收益为y元，∵0＜t≤200，则 y与 t的函数关系式：
y=-t+300-

1

200

（t-150）²-100=-

1

200

t²+

1

2

t+

175

2

，
当 t=-

b

2a

=-

1 2

2×(- 1 200 )

=50时，y有最大值．

点评：本题考查了二次函数的应用，一次函数与分段函数，自变量取值范围在本题中都得到了体现，要根据题目给的范围，找准等量关系是解题关键．