Question

如图1，在△ABC中，AB边上高CE与AC边上高BD相交于H点．若BC=25，BD=20，BE=7．
（1）求DE的长；
（2）如图2，若以DE为直径作圆，分别与AC、AB交于G、F，连AH，求证：AH⊥GF．

Answer 1

分析：（1）首先运用勾股定理求得CD，CE的长，再根据相似三角形的性质求得AD的长，从而发现要求的线段就是直角三角形斜边上的中线；
（2）根据H是高的交点得AH⊥BC，所以只需证明GF∥BC即可．

解答：解：由已知得CD=15，CE=24，
（1）由题设知∠ADB=∠AEC=90°，
∴△ADB∽△AEC，
故

AD

AE

=

BD

CE

=

AB

AC

…①，
由①有

AD AE = 5 6 AE+7 AD+15 = 5 6

，
∴

AD=15 AE=18

，
∴点D是Rt△AEC的中点，
∴故DE=

1

2

AC=15；

（2）证明：
方法一：由条件知：G、F、E、D；E、D、C、B四点共圆，
则∠AFG=∠ADE=∠EBC，故GF∥BC；
方法二：连DF，则DF∥CE，
由（1）知D为AC中点，
∴F为AE中点，
∴AF=9，
∴AG=

54

5

，
∴

AG

AC

=

54 5

30

=

9

25

，
∴

AF

AB

=

9

25

，
∴

AG

AC

=

AF

AB

，
∴GF∥BC，
又∵H为△ABC垂心，
∴AH⊥BC，
∵GF∥BC，
∴AH⊥GF．

点评：此题主要考查相似三角形的基本性质和直角三角形的性质，此类题的知识综合性较强，熟练运用勾股定理以及相似三角形的判定和性质，善于把要证得的结论进行转换．