Question

求证：三角形内任一点到三顶点距离之和大于周长的一半而小于周长．

Answer 1

考点：三角形三边关系

专题：证明题

分析：先根据两边之和大于第三边得出

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（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC，再根据两边之差小于第三边即可得出OA+OB+OC＜AB+AC+BC即可．

解答：已知：O为△ABC内的任一点，求证：

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（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．
证明：∵三角形中任意两边之和大于第三边，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞CA，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+BC+CA，即

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（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC；
∵三角形中任意两边之差小于第三边，
∴CA-CO＞AO，BC-BO＞CO，AB-AO＞BO，
两边相加得，CA+AB+BC-（AO+BO+CO）＞AO+BO+CO，即AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
∴AC+AB+BC＞AO+BO+CO
∴

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（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

点评：本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．