Question

7．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，设点P、Q为AB、CB上动点，它们分别从A、C同时出发向B点匀速移动，移动速度都为1cm/秒，移动时间为t秒（0≤t≤4），在整个移动过程中，
（1）当∠CPQ=90°时，求t的值．
（2）当t为多少时，△CPQ是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）过P作MP⊥AC与M，作PN⊥CB于N，易得AB=5cm，PM∥BC，利用△APM∽△ACB的相似比可表示出MP=$\frac{4}{5}$t，AM=$\frac{3}{5}$t，则CM=3-$\frac{3}{5}$t，在Rt△PCM中利用勾股定理得到PC²=PM²+MC²=（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²=t²-$\frac{18}{5}$t+9；又Rt△CPN∽Rt△CQP，得到CP²=CN•CQ=$\frac{4}{5}$t•t，由此可得到关于t的一元二次方程，解方程即可得到t的值；
（2）分三种情况：①CP=CQ时；②CP=PQ时；③CQ=PQ时；进行讨论即可求解．

解答 解：（1）过P作MP⊥AC与M，作PN⊥CB于N，如图，AP=CQ=t，
∵∠ACB=90°，CA=3cm，CB=4cm，
∴AB=5cm，PM∥BC，
∴△APM∽△ACB，
∴MP：BC=AM：AC=AP：AB，
∴MP=$\frac{4}{5}$t，AM=$\frac{3}{5}$t，
∴CM=3-$\frac{3}{5}$t，
在Rt△PCM中，PC²=PM²+MC²=（$\frac{4}{5}$t）²+（3-$\frac{3}{5}$t）²=t²-$\frac{18}{5}$t+9，
又∵CN=PM=$\frac{4}{5}$t，
∵∠CPQ=90°，
∴Rt△CPN∽Rt△CQP，
∴CP：CQ=CN：CP，即CP²=CN•CQ，
∴t²-$\frac{18}{5}$t+9=（$\frac{4}{5}$t）•t，整理得：t²-18t+45=0，
∴t₁=3（t₂=15舍去），
∴当∠CPQ=90°时，t的值为3；
（2）①CP=CQ时，t²-$\frac{18}{5}$t+9=t²，t=2.5；
②CP=PQ时，CN=$\frac{1}{2}$CQ，$\frac{4}{5}$t=$\frac{1}{2}$t，t=0（舍）；
③CQ=PQ时，t²=（3-$\frac{3}{5}$t）²+（t-$\frac{4}{5}$t）²，
t₁=2$\sqrt{6}$-3，t₂=2$\sqrt{6}$+3（舍）．
综上：t=2.5或t=2$\sqrt{6}$-3时，△CPQ是等腰三角形．

点评 本题考查了三角形相似的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．注意分类思想的应用．