Question

已知二次函数y=

3

4

x²+bx+c的图象与x轴交于A（-1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）填空：b=

 

，c=

 

；
（2）如图，点Q从O出发沿x轴正方向以每秒4个单位运动，点P从B出发沿线段BC方向以每秒5个单位运动，两点同时出发，点P到达点C时，两点停止运动，设运动时间为ts，过点P作PH⊥OB，垂足为H．
①求线段QH的长（用含t的式子表示），并写出t的取值范围；
②当点P、Q运动时，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A、B的坐标代入所求抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．
（2）①此题应先求出PQ∥y轴，即Q、H重合时t的值，此时OQ+BH=4，即8t=4，t=

1

2

；
1、当点Q在线段OH上时，即0≤t≤

1

2

时，可分别表示出OQ、BH、OH的长，由QH=OH-OQ即可求得QH的值；
2、当点Q在线段BH上时，即

1

2

≤t≤1时，方法同1；
②此题也应分两种情况：
1、当0＜t＜

1

2

时，易求得OC、OQ、QH、PH的值，若以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似，那么两个三角形的对应直角边成比例，即OQ：OC=PH：QH或OQ：OC=QH：PH，可根据个不同的比例关系式求出t的值；
2、当

1

2

＜t≤1时，方法同1．

解答：解：（1）由题意可得：

3 4 -b+c=0 c=-3

；
解得：b=-

9

4

，c=-3．

（2）由（1）知抛物线的解析式为：y=

3

4

x²-

9

4

x-3，则B（4，0）；
故OB=4，OC=3，BC=5；
当PQ∥y轴，即Q、H重合时，BH+OQ=OB=4；
∵BP=5，且cos∠OBC=

4

5

，
∴BH=4t；
故4t+4t=4，即t=

1

2

．
①当0≤t≤

1

2

时，点Q在线段OH上，由于OQ=4t，BH=4t，OH=4-4t；
故QH=OH-OQ=4-8t；
当

1

2

≤t≤1时，点Q在线段BH上，故QH=OQ-QH=8t-4；
②假设存在符合条件的t值；
当0＜t＜

1

2

时，OQ=4t，PH=3t，OC=3，QH=4-8t；
由于以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似，则：
1、

PH

QH

=

OC

OQ

，即

3t

4-8t

=

3

4t

，t²+2t-1=0，解得t=

2

-1或

2

+1＞1（舍去）；
2、

PH

QH

=

OQ

OC

，即

3t

4-8t

=

4t

3

，32t²=7t，解得t=0（舍去），t=

7

32

；
当

1

2

＜t≤1时，OQ=4t，PH=3t，OC=3，QH=8t-4；
同上可得：
1、

PH

QH

=

OC

OQ

，即

3t

8t-4

=

3

4t

，t²-2t+1=0，解得t=1；
2、

PH

QH

=

OQ

OC

，即

3t

8t-4

=

4t

3

，32t²=25t，解得t=0（舍去），t=

25

32

；
综上可知：当t=

2

-1或t=

7

32

或t=

25

32

或t=1时，以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似．

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等重要知识，在（2）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点分类讨论，以免漏解．