Question

已知：直角梯形OABC中，BC∥OA，∠AOC=90°，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连结AD、BD、BE。
（1）在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形。
_____________________，______________________ ；
（2）直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线y=ax²-2ax-3a（a<0）经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点。
①写出顶点B的坐标（用a的代数式表示）___________。
②求抛物线的解析式。
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PN⊥x轴于N，使得△PAN与△OAD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

                 图1                                                       图2 

Answer 1

解：（1）△OAD∽△CDB，△ADB∽△ECB；
（2）①（1，-4a），
②∵△OAD∽△CDB，
∴，
∵ax²-2ax-3a=0，可得A（3，0），
又OC=-4a，OD=-3a，CD=-a，CB=1，
∴，
∴，　　
∵，　　
∴，
故抛物线的解析式为：；
③存在，
设P（x，-x²+2x+3）
∵△PAN与△OAD相似，且△OAD为等腰三角形，
∴PN=AN，
当x<0（x<-1）时，-x+3=-（-x²+2x+3），x₁=-2，x₂=3（舍去），
∴P（-2，-5）
当x>0（x>3）时，x-3=-（-x²+2x+3），x₁=0，x₂=3（都不合题意舍去），
符合条件的点P为（-2，-5）。