Question

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+3分別交x轴、y轴于A、C两点，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），经过A，C两点，与x轴交于点B（1，0）

（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为直线AC上一点，点E为拋物线上一点，且D，E两点的横坐标都为2，点F为x轴上的点，若四边形ADFE是平行四边形，请直接写出点F的坐标；
（3）若点P是线段AC上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交拋物线于点Q，连接AQ，CQ，求△ACQ的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式求出A点和C点坐标，再设交点式y=a（x+3）（x+1），然后把C点坐标代入求出a即可；
（2）连结DE交x轴于H，如图1，利用D，E两点的横坐标都为2得到DE被x轴垂直平分，H（2，0），再利用平行四边形的性质得到AH=FH=5，然后写出F点的坐标；
（3）如图2，设P（t，t+3）（-3＜t＜0），则Q（t，-t²-2t+3），则可用t表示出PQ得到PQ=-t²-3t，再根据三角形面积公式，利用S_△ACQ=S_△AQP+S_△CQP得到S_△ACQ=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t，然后根据二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）当y=0时，x+3=0，解得x=-3，则A（-3，0），
当y=0时，y=x+3=3，则C（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x+3）（x+1），
把C（0，3）代入得a•3•（-1）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+3）（x-1），即y=-x²-2x+3；
（2）连结DE交x轴于H，如图1，
∵D，E两点的横坐标都为2，
∴DE⊥x轴，且DE被x轴平分，H（2，0）
∵四边形ADFE为平行四边形，
∴AH=FH=2-（-3）=5，
∴OF=OH+HF=7，
∴F点的坐标为（7，0）；
（3）如图2，设P（t，t+3）（-3＜t＜0），则Q（t，-t²-2t+3），
则PQ=-t²-2t+3-（t+3）=-t²-3t，
∵S_△ACQ=S_△AQP+S_△CQP，
∴S_△ACQ=$\frac{1}{2}$•3•PQ=-$\frac{3}{2}$t²-$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当t=-$\frac{3}{2}$时，△ACQ的面积有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质．