Question

如图，在直角坐标系中，已知点P₀的坐标为（1，0），进行如下操作：将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁；又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂，如此重复操作下去，得到线段OP₃，OP₄，…，则：
（1）点P₅的坐标为

 

；
（2）落在x轴正半轴上的点P_n坐标是

 

，其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．

Answer 1

分析：（1）由于点P₀的坐标为（1，0），将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，得到线段OP₁=2，那么P₁的坐标为（

2

，

2

），又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，得到线段OP₂=4，那么P₂的坐标为（0，4），由此类推P₃的坐标为（-4

2

，4

2

），P₄的坐标为（16，0），P₅的坐标为（-16

2

，-16

2

）；
（2）如果通过旋转最后落在x轴正半轴上，由于每次旋转45°，所以可以求出需要360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，并且每旋转一次OP扩大一倍，那么旋转到点P_n的坐标可以求出了．

解答：解：（1）∵点P₀的坐标为（1，0），
而将线段OP₀按逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP₀的2倍，
∴线段OP₁=2，
∴P₁的坐标为（

2

，

2

），
又将线段OP₁按逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP₁的2倍，
∴线段OP₂=4，
∴P₂的坐标为（0，4），
由此类推P₃的坐标为（-4

2

，4

2

），P₄的坐标为（16，0），P₅的坐标为（-16

2

，-16

2

）；

（2）∵通过旋转最后落在x轴正半轴上，而每次旋转45°，
∴需要旋转360°÷45°=8次才能落在x轴正半轴上，
并且每旋转一次OP扩大一倍，
∴OP_n=2ⁿ，
∴旋转到点P_n的坐标为（2ⁿ，0），其中n满足的条件是n=8k（k=0，1，2…的整数）．

点评：本题涉及图形变换--旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向逆时针，旋转角度45°，通过画图确定各点．