Question

如图，等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB的长为x米．
（1）请求出底边BC的长（用含x的代数式表示）；
（2）若∠BAD=60°，该花圃的面积为S米²．
①求S与x之间的函数关系式（要指出自变量x的取值范围），并求当S=93时x的值；
②如果墙长为24米，试问S有最大值还是最小值？这个值是多少？

Answer 1

解：（1）∵AB=CD=x米，
∴BC=40-AB-CD=（40-2x）米．

（2）①如图，
过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB=x，∠BAE=60°
∴AE=x，BE=x，
同理DF=x，CF=x
又EF=BC=40-2x
∴AD=AE+EF+DF=x+40-2x+x=40-x
∴S=（40-2x+40-x）•x=x（80-3x）（0＜x＜20）
当S=时，x=，
解得：x₁=6，x₂=（舍去）．
∴x=6
②由题意，得40-x≤24，解得x≥16，
结合①得16≤x＜20
由①，S=x=
∵a=＜0
∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．
其对称轴为x=，
∵16＞，由左图可知，
当16≤x＜20时，S随x的增大而减小
∴当x=16时，S取得最大值，
此时S最大值=m²．
分析：（1）已知AB=CD=x，则易求BC的值．
（2）①第二小题需要辅助线的帮助，作BE、CF分别垂直AD，易求出各边以及梯形高的值．利用梯形面积公式可求出S与x的关系．②求出该函数的对称轴后画图可知x=16时，函数有最大值．
点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．