Question

如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．

Answer 1

分析：本题可根据菱形的定义来求解．E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EG∥=HF．
因此四边形EHFG是平行四边形，E、H是AD，AC的中点，那么EH=

1

2

CD，要想证明EHFG是菱形，那么就需证明EG=EH，那么就需要AB、CD满足AB=CD的条件．

解答：解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形．
证明：∵点E，G分别是AD，BD的中点，
∴EG

∥ .

.

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AB，同理HF

∥ .

.

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2

AB，∴EG

∥ .

.

HF．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵EG=

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2

AB，又可同理证得EH=

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CD，
∵AB=CD，∴EG=EH，
∴四边形EGFH是菱形．

点评：本题考查了菱形的判定，运用的是菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．