Question

（2013•晋江市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4

3

．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．
（1）当点D运动到线段AC中点时，DE=

3

；
（2）点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=

3

2

或

3 3

2

时，⊙C与直线AB相切．

Answer 1

分析：（1）求出BC，AC的值，推出DE为三角形ABC的中位线，求出即可；
（2）求出AB上的高，CH，即可得出圆的半径，证△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

解答：解：（1）∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4

3

，
∴BC=

1

2

AB=2

3

，AC=6，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∵D为AC中点，
∴E为AB中点，
∴DE=

1

2

BC=

3

，
故答案为：

3

；

（2）过C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2

3

，AB=4

3

，AC=6，
∴由三角形面积公式得：

1

2

BC•AC=

1

2

AB•CH，
CH=3，
分为两种情况：①如图1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=

3

2

，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

DE

BC

=

AD

AC

，
∴

DE

2 3

=

3 2

6

，
DE=

3

2

；
②如图2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F关于D对称，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴

DE

BC

=

AD

AC

，
∴

DE

2 3

=

4.5

6

，
DE=

3 3

2

；
故答案为：

3

2

或

3

2

3

点评：本题考查了三角形的中位线，含30度角的直角三角形性质，相似三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．