Question

已知：如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，直线EF经过点C，分别交AB、AD的延长线于E、F两点，连接ED、FB相交于点H．
（1）如果菱形的边长是3，DF=2，求BE的长；
（2）除△AEF外，△BEC与图中哪一个三角形相似，找出来并证明；
（3）请说明BD²=DH•DE的理由．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BCE∽△AFE，
∴，
即，
即BE=4.5；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∴△DCF∽△AEF，
∴△BEC∽△DCF；

（3）∵△BEC∽△DCF，
∴，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BD=BC=CD，∠EBD=∠BDF=120°，
∴，
∴△BED∽△DBF，
∴∠BED=∠DBF，
又因为∠BDE作为公共角，
∴△BHD∽△EBD，
∴，
即BD²=DH•DE．
分析：（1）根据相似三角形的判定证明△BCE∽△AFE，再根据相似三角形的对应边的比相等求解；
（2）根据相似三角形的传递性即可找到△DCF；
（3）利用菱形的性质、等边三角形的性质以及相似三角形的判定以及性质可以证明△BHD∽△EBD，再根据相似三角形的性质即可证明．
点评：此题综合考查了相似三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及菱形的性质，尤其是第三问的难度较大．