Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣，其中正确的结论个数是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由对称轴=2可知a=，由图象可知当x=1时，y＞0，可判断②；由OA=OC，且OA＜1，可判断③；把-代入方程整理可得ac2-bc+c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．

解：∵图象开口向下，∴a＜0，

∵对称轴为直线x=2，∴＞0，∴b＞0，

∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，

∴abc＞0，故①错误.

∵对称轴为直线x=2，∴=2，∴a=，

∵由图象可知当x=1时，y＞0，

∴a+b+c＞0，∴4a+4b+4c>0，∴4()+4b+4c>0，

∴3b+4c>0，故②错误.

∵由图象可知OA＜1，且OA=OC，

∴OC＜1，即-c＜1，

∴c＞-1，故③正确.

∵假设方程的一个根为x=-，把x=-代入方程可得+c=0，

整理可得ac-b+1=0，

两边同时乘c可得ac2-bc+c=0，

∴方程有一个根为x=-c，

由③可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，

∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确.

综上可知正确的结论有三个：③④.

故选B.