Question

如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O₁，以O₁B为边长作正△O₁BP₁，再取正△O₁BP₁的内心O₂，以O₂B为边长作正△O₂BP₂，…，依次规律作第2009个正△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉．则△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面积是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据正三角形的内心和外心重合，则每后一个正三角形的边长是前一个正三角形的外接圆的半径，它们的边长比是．再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，得每后一个正三角形的面积是前一个正三角形的面积的，所以要求的正三角形的面积是．
解答：解：如图；
Rt△O₁BD中，∠O₁BD=30°；
∴=cos30°=；
∴==，
∴S_△O1BP1=S_△ABC=；
同理可求得S_△O2BP2=S_△O1BP1=×S_△ABC=（）²×8；
依此类推，S_△OnBPn=（）ⁿ×8=；
当n=2009时，△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面积是．
点评：解答此类题一般要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值．