Question

问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．当∠BAC=90°时：
（1）依问题中的条件尺规作图补全如图．（不写作法，但保留作图痕迹）
（2）图中AB与AC的数量关系为

 

；
（3）若求出∠DAC=15°，则进一步可推出∠DBC的度数为

 

；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为

 

．

Answer 1

考点：作图—复杂作图

专题：

分析：（1）利用线段垂直平分线的性质以及其画法得出AC的垂直平分线进而截取BD=AB即可；
（2）利用等腰三角形的判定与性质得出AB与AC的数量关系；
（3）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出∠DBC的度数，进而得出∠DBC与∠ABC度数的比值．

解答：解：（1）如图所示：

（2）∵∠BAC=90°，∠BAC=2∠ACB，
∴∠ACB=45°，
∴∠CBA=45°，
∴AB=AC；
故答案为：相等；

（3）∵∠DAC=15°，∠CAB=90°，
∴∠DAB=75°，
∵AB=BD，
∴∠BDA=75°，
∴∠BDA=30°，
∴∠CBD=45°-30°=15°，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为：15：45=1：3．
故答案为：15°，1；3．

点评：此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质和画法以及等腰三角形的性质等知识，熟练利用线段垂直平分线的性质得出D点位置是解题关键．