Question

如图，已知P是△ABC边BC上一点，且PC=2PB，若∠ABC=45°，∠APC=60°，求：∠ACB的大小．

Answer 1

分析：根据轴对称，角平分线和等边三角形的判定与性质，作C关于AP的对称点C′，连接AC′、BC′、PC′，求得BA平分∠C′BC，C′A平分∠MC′P，从而求得∠ACB的大小．

解答：解：作C关于AP的对称点C′，
连接AC′、BC′、PC′，
则有PC′=PC=2PB，
∠APC′=∠APC=60°
可证△BC′P为直角三角形（延长PB到D，
使BD=BP，则PD=PC′，
又∠C′PB=60°，
则△C′PD是等边三角形，
由三线合一性质有C′B⊥BP，∠C′BP=90°，
因为∠ABC=45°，所以∠C′BA=45°=∠ABC，
所以BA平分∠C′BC
所以A到BC′的距离=A到BC的距离
又因为∠APC′=∠APC，所以PA平分∠C′PC
所以A到PC′距离=A到PC（即BC）的距离
所以A到BC′的距离=A到PC′的距离
所以A是角平分线上的点，即C′A平分∠MC′P
所以∠AC′P=

1

2

∠MC′P=75°=∠ACB．

点评：本题考查了轴对称的性质，角平分线的性质和等边三角形的判定与性质，有一定难度，作出辅助线是本题的关键．