Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90º， AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）.以AD为边作正方形ADEF．连接CF.

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①CF＝BD；②CF⊥BD；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？请直接写出结论即可（不必证明）；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两侧，其它条件不变，线段CF与BD的上述关系是否还成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.

Answer 1

（1）由∠BAC=90º， AB=AC可得∠ABC＝∠ACB＝45º，根据正方形的性质可得AD＝AF，∠DAF＝90º，根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAF，即可证得BAD≌CAF，从而可以证得结论；（2）（3）成立

试题分析：（1）由∠BAC=90º， AB=AC可得∠ABC＝∠ACB＝45º，根据正方形的性质可得AD＝AF，∠DAF＝90º，根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAF，即可证得BAD≌CAF，从而可以证得结论；
（2）证法同（1）；
（3）同（1）可证BAD≌CAF，CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝135º，再结合∠ACB＝45º即可得到结果.
（1）∵∠BAC=90º， AB=AC
∴∠ABC＝∠ACB＝45º
∵四边形ADEF是正方形  
∴AD＝AF，∠DAF＝90º
∵∠BAD＋∠DAC＝∠CAF＋∠DAC＝90 º
∴∠BAD＝∠CAF，    
∴BAD≌CAF，
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝45º
∴∠BCF＝90º，即 CF⊥BD；
（2）当点D在线段BC的延长线上，线段CF与BD的上述关系仍然成立；
（3）当点D在线段BC的反向延长线上，且点A、F在直线BC的两侧时，线段CF与BD的上述关系仍然成立
∵同理可证BAD≌CAF，CF＝BD，∠ACF＝∠ABD＝135º
又∵∠ACB＝45º，
∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝135º－45º＝90º，
∴CF⊥BD.
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.