Question

如图，抛物线y=

1

3

x2-mx+n与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A（-2，0）和点B（点B在点A的右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）若点P、Q分别从B、C两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿BA、CO方向运动，当P运动到A时P、Q两点同时停止运动．在运动过程中，设运动的时间为t（秒），△APQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
[提示：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴
是x=-

b

2a

，顶点坐标是(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)]．

Answer 1

分析：（1）将A和C的坐标代入抛物线解析式，得到关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而确定出抛物线解析式，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的方程，求出方程的解并根据B的位置即可求出B的坐标；
（2）分三种情况考虑：①当0≤t＜4时（如图1），AP=AB-BP=8-t，OQ=OC-CQ=4-t，三角形APQ为AP为底边，OQ为AP边上的高，利用三角形的面积公式表示出S与t的关系式；②当4＜t＜8时（如图2），AP=8-t，OQ=CQ-OC=t-4，
同理可得出S与t的关系式；③当t=4时，点A、P、Q三点共线，不构成三角形；当t=8时，点A、P重合，点A、P、Q不构成三角形，综上，得到满足题意的S与t的关系式．

解答：解：（1）依题意将C（0，-4），与A（-2，0），
代入得：

n=-4 4 3 +2m+n=0

，
解得：m=

4

3

，n=-4，
∴抛物线的解析式为y=

1

3

x²-

4

3

x-4，
由

1

3

x²-

4

3

x-4=0，解得：x=-2或x=6，
∵点B在点A的右侧，
∴B（6，0）；

（2）分三种情况考虑：
①当0≤t＜4时（如图1），AP=AB-BP=8-t，OQ=OC-CQ=4-t，
此时S=

1

2

AP•OQ=

1

2

（8-t）（4-t）=

1

2

t²-6t+16；
②当4＜t＜8时（如图2），AP=8-t，OQ=CQ-OC=t-4，
此时S=

1

2

AP•OQ=

1

2

（8-t）（t-4）=-

1

2

t²+6t-16；
③当t=4时，点A、P、Q三点共线，不构成三角形；
当t=8时，点A、P重合，点A、P、Q不构成三角形，
综上，S与t之间的函数关系式为S=

1 2 t2-6t+16(0≤t＜4) - 1 2 t2+6t-16(4＜t＜8)

．

点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，二次函数与x轴的交点，以及动点问题，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时考虑问题要全面，要做到不重不漏．