Question

如图，在四边形ABCD中（AB＞AD），AC为对角线，且AC⊥BC，将四边形ABCD沿AC折叠，点D恰好落在AB的中点E处．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）请你在△ACB中再添加一个条件，使四边形ABCD是等腰梯形，并加以证明．

Answer 1

考点：等腰梯形的判定,菱形的判定,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据直角三角形性质得出CE=AE=BE，根据折叠得出DC=CE，AD=AE，推出AD=DC=CE=AE即可；
（2）根据菱形的性质得出DC∥AB，求出AD=BC，根据等腰梯形的判定得出即可．

解答：（1）证明；∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∵将四边形ABCD沿AC折叠，点D恰好落在AB的中点E处，
∴DC=CE，AD=AE，
∴AD=DC=CE=AE，
∴四边形AECD是菱形；

（2）解：AB=2BC，理由如下：
∵CE=AE=BE，AB=2BC，
∴CE=BC，
∵AD=CE，
∴BC=AD，
∵四边形AECD是菱形，
∴DC∥AB，
∴四边形ABCD是等腰梯形，
即当AB=2BC时，四边形ABCD是等腰梯形．

点评：本题考查了菱形的性质和判定，等腰梯形的判定，直角三角形性质，折叠的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，难度适中．