Question

【题目】已知，如图所示，在矩形ABCD中，点E在BC边上，△AEF＝90°

（1）如图①，已知点F在CD边上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的长；

（2）如图②，已知AE＝EF，G为AF的中点，试探究线段AB，BE，BG的数量关系；

（3）如图③，点E在矩形ABCD的BC边的延长线上，AE与BG相交于O点，其他条件与（2）保持不变，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB+BE＝BG．理由见解析；（3）

【解析】

（1）根据矩形性质求出AE,运用勾股定理求BE,EC,再证Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），在Rt△CEF中，由勾股定理得结果；（2）作FM⊥BC交BC的延长线于M，作GN⊥BC于N，连接GM，△ABE≌△EMF（AAS），得AB＝EM，BE＝FM，证点N为BM的中点，GN＝（AB+FM），再解直角三角形可得；（3）连接EG，作OP⊥BE于P，作OQ⊥AG于Q，根据矩形性质，证出等腰直角三角形，再解直角三角形，求出关键线段长度，再求面积.

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，

∵AD＝AE，AD＝5，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE＝＝3，

∴EC＝2，

在Rt△AEF和Rt△ADF中，，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），

∴EF＝DF，

设DF＝EF＝x，则CF＝4﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

即DF的长为；

（2）AB+BE＝BG．理由如下：

作FM⊥BC交BC的延长线于M，作GN⊥BC于N，连接GM，如图②所示：

在△ABE和△EMF中，，

∴△ABE≌△EMF（AAS）

∴AB＝EM，BE＝FM，

∵AB⊥BC，FM⊥BC，GN⊥BC，

∴AB∥GN∥FM，又点G为AF的中点，

∴点N为BM的中点，GN＝（AB+FM），

∴GN＝BM，

∴GB＝GN，∠BGM＝90°，

∴BM＝BG，

∴AB+BE＝BG．

（3）连接EG，作OP⊥BE于P，作OQ⊥AG于Q，如图③所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝5，∠ABC＝90°，

∴BE＝BC+CE＝6，

∴AE＝

∵△AEF是等腰直角三角形，G是AF的中点，

∴∠GAE＝45°，EG⊥AF，

∴△AGE是等腰直角三角形，∠AGE＝90°，

∴AE＝AG，

∴AG＝，

∵∠ABE＝90°，

∴∠ABE+∠AGE＝180°，

∴A、B、E、G四点共圆，

∴∠GBE＝∠GAE＝45°，

∴△OBP是等腰直角三角形，

∴OP＝BP，

设OP＝BP＝x，

∵tan∠AEB＝，

即，

∴PE＝x，

∵BP+PE＝BE＝6，

∴x+x＝6，

解得：x＝，

∴OP＝，

∴OE＝，

∴AO＝AE﹣OE＝，

在Rt△AOQ中，∠OAQ＝45°，

∴OQ＝，

∴△AOG的面积＝．