Question

1．如图1，抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+\frac{1}{2}x-3$与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），已知C（0，$\frac{3}{2}$）．连接AC．
（1）求直线AC的解析式．
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴交直线AC于点E，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，线段PG交x轴于点H．设l=EP-$\frac{2}{3}$FH，求l的最大值．
（3）如图2，在（2）的条件下，点M是x轴上一动点，连接EM、PM，将△EPM沿直线EM折叠为△EP₁M，连接AP，AP₁．当△APP₁是等腰三角形时，试求出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先令y=0求抛物线与x轴交点坐标，利用待定系数法求直线AC的解析式；
（2）如图1中，设点P（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-3），则E（m，-$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$），构建关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）如图2中，分四种情形讨论即可①当P₁P=P₁A时，②AP=AP₂时，③当P₃P=P₃A时，④当P₄P=PA时，画出图形，求出点M坐标即可．

解答 解：（1）当y=0时，$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x-3=0，解得x₁=-3，x₂=2，
∵点A在点B的右侧，
∴A（2，0）、B（-3，0）；
设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（2，0）、C（0，$\frac{3}{2}$）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$  解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为：y=-$\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$；
（2）如图1中，在Rt△ACO中，tan∠OAC=$\frac{CO}{AO}$=$\frac{3}{4}$
∵∠FPH+∠PHF=90°，∠OAC+∠AHG=90°，∠PHF=∠AHG，
∴∠HPF=∠OAC
∴tan∠FPH=tan∠OAC=$\frac{3}{4}$
∵tan∠FPH=$\frac{FH}{FP}$
∴$\frac{2}{3}$FH=$\frac{2}{3}$×FP×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{2}$FP
设点P（m，$\frac{1}{2}$m²+$\frac{1}{2}$m-3），则E（m，-$\frac{3}{4}$m+$\frac{3}{2}$），
∴EP=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{5}{4}$m+$\frac{9}{2}$，FP=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m+3，
于是l=EP-$\frac{2}{3}$FH=EP-$\frac{1}{2}$FP=-$\frac{1}{4}$m²-m+3，
∵-$\frac{1}{4}$＜0
∴l=-$\frac{1}{4}$m²-m+3开口向下，对称轴x=$\frac{-1}{-2×（-\frac{1}{4}）}$=-2，
∵点P是x轴下方的抛物线上一动点，
∴-3＜m＜2
∴l在-3＜m＜2时，当m=-2时，l_最大=4；
（3）如图2中，m=-2时，E（-2，3），P（-2，-2），
∵A（2，0），
∴EP=EA=5，
①当P₁P=P₁A时，AP中点K（0，-1），于是直线EK为y=-2x-1，
∴直线EK交x于I（-$\frac{1}{2}$，0），EI=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$，
过点M₁作M₁J⊥EK于J，则EJ=EF=3，
∴IJ=$\frac{3}{2}$$\sqrt{5}$-3，
∵△IEF∽△IM₁J，
∴$\frac{IE}{I{M}_{1}}$=$\frac{IF}{IJ}$，
∴IM₁=$\frac{15}{2}$-3$\sqrt{5}$．
∴M₁（3$\sqrt{5}$-8，0），
②AP=AP₂时，△AEP≌△AEP₂，
∴∠AEP=∠AEP2_，
∴点M₂与点A重合，
∴点M₂（2，0）．
③当P₃P=P₃A时，由△EFM₃∽△M₁FE，得到EF²=FM₃•FM₁，
∴FM₃=3$\sqrt{5}$+6，
∴点M₃（-3$\sqrt{5}$-8，0），
④当P₄P=PA时，作M₄Q⊥EP₄，设M₄Q=M₄F=x，
在RT△P₄QM₄中，
∵P₄Q²+QM₄²=FP₄²，
∴2²+x²=（4-x）²，
∴x=$\frac{3}{2}$，
∴0M₄=$\frac{3}{2}$+2=$\frac{7}{2}$，
∴点M₄（-$\frac{7}{2}$，0）．
综上所述点M₁（3$\sqrt{5}$-8，0），M₂（2，0），M₃（-3$\sqrt{5}$-8，0），M₄（-$\frac{7}{2}$，0）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、函数最值问题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数，解决实际问题中最值问题，学会分类讨论，考虑问题要全面，属于中考压轴题．