Question

【题目】如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为_____．

Answer 1

【答案】或2．

【解析】

当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C＝A'E＝2，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A'B＝4，最后利用勾股定理可得AB的长；②当∠A'FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝2．

解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：

①当∠A'EF＝90°时，如图1，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，

∵点D，E分别为AB，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠BDE＝∠MAN＝90°，

∴∠BDE＝∠A'EF，

∴AB∥A'E，

∴∠ABC＝∠A'EB，

∴∠A'BC＝∠A'EB，

∴A'B＝A'E，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC＝2A'E，

由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，

∴AE′＝，

∴AB＝；

②当∠A'FE＝90°时，如图2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，

∴∠ACF＝90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝2；

综上所述，AB的长为或2；

故答案为：或2．