【题目】如图,∠MAN=90°,点C在边AM上,AC=2,点B为边AN上一动点,连接BC,△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称,点D,E分别为AB,BC的中点,连接DE并延长交A′C所在直线于点F,连接A′E,当△A′EF为直角三角形时,AB的长为_____.
【答案】或2.
【解析】
当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:①当∠A'EF=90°时,如图1,根据对称的性质和平行线可得:A'C=A'E=2,根据直角三角形斜边中线的性质得:BC=2A'B=4,最后利用勾股定理可得AB的长;②当∠A'FE=90°时,如图2,证明△ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=2.
解:当△A′EF为直角三角形时,存在两种情况:
①当∠A'EF=90°时,如图1,
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,
∴A'C=AC=2,∠ACB=∠A'CB,
∵点D,E分别为AB,BC的中点,
∴D、E是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∴∠BDE=∠MAN=90°,
∴∠BDE=∠A'EF,
∴AB∥A'E,
∴∠ABC=∠A'EB,
∴∠A'BC=∠A'EB,
∴A'B=A'E,
Rt△A'CB中,∵E是斜边BC的中点,
∴BC=2A'E,
由勾股定理得:AB2=BC2﹣AC2,
∴AE′=,
∴AB=;
②当∠A'FE=90°时,如图2,
∵∠ADF=∠A=∠DFC=90°,
∴∠ACF=90°,
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称,
∴∠ABC=∠CBA'=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=AC=2;
综上所述,AB的长为或2;
故答案为:或2.
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】红灯笼,象征着阖家团圆,红红火火,挂灯笼成为我国的一种传统文化.小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼,用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同,已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元.
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价;
(2)经市场调查发现,乙灯笼每对售价50元时,每天可售出98对,售价每提高1元,则每天少售出2对:物价部门规定其销售单价不高于每对65元,设乙灯笼每对涨价x元,小明一天通过乙灯笼获得利润y元.
①求出y与x之间的函数解析式;
②乙种灯笼的销售单价为多少元时,一天获得利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,点C是AB延长线上的点,CD与⊙O相切于点D,连结BD、AD
(1)求证:∠BDC=∠A;
(2)若∠C=45°,⊙O的半径为1,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)
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【题目】如图,点A在双曲线y= 上,点B在双曲线y=(k≠0)上,AB∥x轴,交y轴于点C,若AB=2AC,则k的值为( )
A.6B.8C.10D.12
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【题目】某中学图书室计划购买了甲、乙两种故事书.若购买7本甲种故事书和4本乙种故事书需510元;购买3本甲种故事书和5本乙种故事书需350元.
(1)求甲种故事书和乙种故事书的单价;
(2)学校准备购买甲、乙两种故事书共200本,且甲种故事书的数量不少于乙种故事书的数量的,请设计出最省钱的购买方案,并说明理由.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C(0,﹣3)顶点为D
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)判断△BCD的形状,并说明理由;
(3)点P在抛物线上,点Q在直线y=x上,是否存在点P、Q使以点P、Q、C、O为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某渔船向正东方向航行,上午8点在A处时发现渔船、小岛B和小岛C在同一条直线上,渔船以30海里/小时的速度继续向正东方向航行,上午10点到达位于小岛C的正南方向上的D处,此时小岛B在渔船的西偏北63°的方向上,如图,已知小岛C在小岛B的东偏北45°的方向上,求小岛B和小岛C之间的距离.(结果精确到1海里,参考数据:sin63°≈0.9,cos63°≈0.5,tan63°≈2.0,≈1.4)
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【题目】已知:△ABC内接于⊙O,CD⊥AB于点D.
(1)如图1,连接OB和OC,AB=AC,求证:∠BOC=4∠BCD;
(2)如图2,延长CD交⊙O于点E,连接AE,过点O作OF⊥AE,垂足为F,求证:BC=2OF;
(3)如图3,在(1)的条件下,G是AB上一点,连接CG,H为CG的中点,连接BH,若∠BAC=∠HBA,AG=8,BH=9,求⊙O的半径.
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