Question

如图，以BC为直径的⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O₁的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O₂的面积为π，则四边形ABCD的面积是________．

Answer 1

12
分析：设⊙O₁的半径是R，求出⊙O₂的半径是1，连接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，推出D、O₂、O₁三点共线，∠CDO₁=30°，求出四边形CFO₂E是矩形，推出O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，推出R+1=2（R-1），求出R=3，求出DO₁，在Rt△CDO₁中，由勾股定理求出CD，求出AH==AB，根据梯形面积公式得出×（AB+CD）×BC，代入求出即可．
解答：∵⊙O₂的面积为π，设⊙O₂的半径是r，
则π×r²=π
∴⊙O₂的半径是1，
∵AB和AH是⊙O₁的切线，
∴AB=AH，
设⊙O₁的半径是R，
连接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，
∵⊙O₁与⊙O₂外切，⊙O₁与⊙O₂的外公切线DC、DA，∠ADC=60°，
∴D、O₂、O₁三点共线，∠CDO₁=30°，
∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，
∴四边形CFO₂E是矩形，
∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，
∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，
∵O₁O₂=2O₁F（在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半），
又∵O₁F=R-1，O₁O₂=R+1，
∴R+1=2（R-1），
解得：R=3，
即DO₁=2+1+3=6，
在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3，
∵∠HO₁A=90°-60°=30°，HO₁=3，
∴AH==AB，
∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．
故答案为：12．
点评：本题考查的知识点是勾股定理、相切两圆的性质、含30度角的直角三角形、矩形的性质和判定，本题主要考查了学生能否运用性质进行推理和计算，题目综合性比较强，有一定的难度．