Question

15．如图，P₁、P₂（P₂在P₁的右侧）是y=$\frac{k}{x}$（k＞0）在第一象限上的两点，点A₁的坐标为（2，0）．
（1）填空：当点P₁的横坐标逐渐增大时，△P₁OA₁的面积将减小（减小、不变、增大）
（2）若△P₁OA₁与△P₂A₁A₂均为等边三角形，
①求反比例函数的解析式；
②求出点P₂的坐标，并根据图象直接写在第一象限内，当x满足什么条件时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

Answer 1

分析 （1）根据点P₁的横坐标逐渐增大时，点P₁离x轴的距离变小，而OA₁的长度不变，进行判断即可；
（2）①作P₁B⊥OA₁于点B，根据△P₁OA₁是等边三角形，求得P₁的坐标为（1，$\sqrt{3}$），代入反比例函数解析式可得反比例函数的解析式；
②过P₂作P₂C⊥A₁A₂于点C，设A₁C=x，则P₂C=$\sqrt{3}$x，根据点P₂的坐标为（2+x，$\sqrt{3}$x），代入反比例函数解析式可得（2+x）$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，求得点P₂的坐标为（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$），根据经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值可得x的取值范围．

解答 解：（1）当点P₁的横坐标逐渐增大时，点P₁离x轴的距离变小，而OA₁的长度不变，
故△P₁OA₁的面积将减小，
故答案为：减小；

（2）①如图所示，作P₁B⊥OA₁于点B，

∵A₁的坐标为（2，0），
∴OA₁=2，
∵△P₁OA₁是等边三角形，
∴∠P₁OA₁=60°，
又∵P₁B⊥OA₁，
∴OB=BA₁=1，
∴P₁B=$\sqrt{3}$，
∴P₁的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
代入反比例函数解析式可得k=$\sqrt{3}$，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

②如图所示，过P₂作P₂C⊥A₁A₂于点C，
∵△P₂A₁A₂为等边三角形，
∴∠P₂A₁A₂=60°，
设A₁C=x，则P₂C=$\sqrt{3}$x，
∴点P₂的坐标为（2+x，$\sqrt{3}$x），
代入反比例函数解析式可得（2+x）$\sqrt{3}$x=$\sqrt{3}$，
解得x₁=$\sqrt{2}$-1，x₂=-$\sqrt{2}$-1（舍去），
∴OC=2+$\sqrt{2}$-1=$\sqrt{2}$+1，P₂C=$\sqrt{3}$（$\sqrt{2}$-1）=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$，
∴点P₂的坐标为（$\sqrt{2}$+1，$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$），
∴当1＜x＜$\sqrt{2}$+1时，经过点P₁、P₂的一次函数的函数值大于反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数值．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，依据等边三角形的性质进行计算求解．解题时注意数形结合思想的运用．