Question

如图，已知：边长为1的正方形ABCD顶点都在⊙O上，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．求弦DE的长．

Answer 1

分析：设圆心为O，连接OD、OE，过点O作OF⊥DE于F，根据圆周角定理可得∠DAE=

1

2

∠DOE，根据垂径定理可得∠DOF=

1

2

∠DOE，DE=2DF，然后求出△ADP和△OFD相似，根据相似三角形对应边成比例可得

OD

AP

=

DF

DP

，再根据正方形的性质求出OD，利用勾股定理列式求出AP，然后代入比例式进行计算即可求出DF，然后求出DE．

解答：解：如图，设圆心为O，连接OD、OE，过点O作OF⊥DE于F，
由圆周角定理得，∠DAE=

1

2

∠DOE，
由垂径定理可得，∠DOF=

1

2

∠DOE，DE=2DF，
又∵∠ADC=∠OFD=90°，
∴△ADP∽△OFD，
∴

OD

AP

=

DF

DP

，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OD=

1

2

×

12+12

=

2

2

，
∵P是CD的中点，
∴DP=

1

2

，
根据勾股定理，AP=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∴

2 2

5 2

=

DF

1 2

，
解得DF=

10

10

，
∴DE=2DF=2×

10

10

=

10

5

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，正方形的性质，作辅助线构造出直角三角形与相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．