Question

整数p，q满足p+q=2010，且关于x的一元二次方程67x²+px+q=0的两个根均为正整数，则p=

 

．

Answer 1

分析：因为方程有两个正整数根，说明根的判别式△=b²-4ac≥0，有根与系数的关系可知：x₁+x₂＞0；x₁．x₂＞0，再由已知条件整数p，q满足p+q=2010，由此可以求出p的取值．

解答：解：令p=67a，q=67b，可知a+b=30，
∴由根与系数的关系可知：

x1+x2=- p 67 =-a x1x2= q 67 =b

x1x2-x1-x2=a+b=30 (x1-1)(x2-1)=31

，
设

x1-1=1 x2-1=31

x1=2 x2=32

，
∴

a=-34 b=64

，
∴p=67a=-2278，
故答案为：p=-2278．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系：如任意一元二次方程a²+bx+c=0（a≠0）有两个根x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

；x₁．x₂=

c

a

．