【题目】(问题探究)课堂上老师提出了这样的问题:“如图①,在中,,点是边上的一点,,求的长”.某同学做了如下的思考:如图②,过点作,交的延长线于点,进而求解,请回答下列问题:
(1)___________度;
(2)求的长.
(拓展应用)如图③,在四边形中,,对角线相交于点,且,,则的长为_____________.
【答案】【问题探究】(1);(2).【拓展应用】.
【解析】
问题探究:
(1)由平行线的性质得出∠ACE+∠BAC=180°,即可得出结果;
(2)由平行线的性质得出∠E=∠BAD=72°,证出AC=AE,由平行线证明△ABD∽△ECD,求出AD=2;ED=4,ED=2,得出AC=AE=AD+ED=6;
拓展应用:过点D作DF∥AB交AC于点F.证明△BAE∽△DFE,得出 =2,得出AB=2DF,EF=AE=1,AF=AE+EF=3,证出AC=AD,在Rt△ADF中,求出DF=AF×tan∠CAD=,得出AC=AD=2DF=2,AB=2DF=2,得出AC=AB,在Rt△ABC中,求出BC= AB=2 即可.
解:(1)∵CE∥AB,
∴∠ACE+∠BAC=180°,
∴∠ACE=180°-108°=72°;
故答案为:72;
(2)∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD=72°,
∴∠E=∠ACE,
∴AC=AE,
∵CE∥AB,
∴△ABD∽△ECD,
∴ ,
∵BD=2CD,
∴=2,
∴AD=2ED=4,
∴ED=2,
∴AC=AE=AD+ED=4+2=6;
拓展应用:
解:如图3中,过点D作DF∥AB交AC于点F.
∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,∵DF∥AB,
∴∠DFA=∠BAC=90°,
∵∠AEB=∠DEF,
∴△BAE∽△DFE,
∴=2,
∴AB=2DF,EF=AE=1,AF=AE+EF=3,
∵∠BAD=120°,
∴∠CAD=30°,
∴∠ACD=75°=∠ADC,
∴AC=AD,
在Rt△ADF中,∵∠CAD=30°,
∴DF=AF×tan∠CAD3× ,
∴AC=AD=2DF=2,AB=2DF=2,
∴AC=AB,
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,
∴BC=AB=2;
故答案为:2.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行裁剪和拼图:
第一步:如图①,在线段AD上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如图②,沿三角形EBC的中位线GH将纸片剪成两部分,并在线段GH上任意取一点M,线段BC上任意取一点N,沿MN将梯形纸片GBCH剪成两部分;
第三步:如图③,将MN左侧纸片绕G点按顺时针旋转180,使线段GB与GE重合,将MN右侧纸片绕H点按逆时针方向旋转180,使线段HC与HE重合,拼成一个与三角形纸片EBC面积相等的四边形纸片(裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)则拼成的这个四边形纸片的周长的最大值为___cm.
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【题目】如图,平面直角坐标系中,直线y=﹣x+与坐标轴交与点A、B.点C在x轴的负半轴上,且AB:AC=1:2.
(1)求A、C两点的坐标;
(2)若点M从点C出发,以每秒1个单位的速度沿射线CB运动,连接AM,设△ABM的面积为S,点M的运动时间为t,写出S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)点P是y轴上的点,在坐标平面内是否存在点Q,使以A、B、P、Q为顶点,且以AB为边的四边形是菱形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校为了解学生“阳光体育运动”的实施情况,随机调查了40名学生一周的体育锻炼时间,并绘制成了如下图所示的条形统计图,根据统计图提供的数据,该校40名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别是( )
A.8,9B.8,8C.9,8D.10,9
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【题目】综合与探究:
如图1,抛物线与轴交于两点(点在点的左侧),顶点为,为对称轴右侧抛物线的一个动点,直线与轴于点,过点作,交轴于点.
(1)求直线的函数表达式及点的坐标;
(2)如图2,当轴时,将以每秒1个单位长度的速度沿轴的正方向平移,当点与点重合时停止平移.设平移秒时,在平移过程中与四边形重叠部分的面积为,求关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)如图3,过点作轴的平行线,交直线于点,直线与交于点,设点的横坐标为.
①当时,求的值;
②试探究点在运动过程中,是否存在值,使四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线AC垂直平分BD,∠BAD=120°,AB=4,点E是AB的中点,点F是AC上一动点,则EF+BF的最小值是_____.
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【题目】如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于点A,B两点,在x轴有一点C(3,0),AC⊥BC,连结AC交反比例函数图象于点D,若AD=CD,则k的值为( )
A.B.2C.2D.4
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【题目】某学校为了防控新型冠状病毒,购买了甲、乙两种消毒液进行校园环境消毒.己知学校第一次购买了甲种消毒液40瓶和乙种消毒液60瓶,共花费3 600元;第二次购买了甲种消毒液60瓶和乙种消毒液40瓶,共花费3 400元.
(1)每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液的价格分别是多少元?
(2)学校准备第三次购买这两种消毒液,其中甲种消毒液比乙种消毒液多10瓶,并且总花费不超过3 500元,最多能购买多少瓶甲种消毒液?
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【题目】已知抛物线y=-x2-2x+c与x轴的一个交点是(1,0).
(1)C的值为_______;
(2)选取适当的数据补填下表,并在平面直角坐标系内描点画出该抛物线的图像;
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(3)根据所画图像,写出y>0时x的取值范围是_____.
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