Question

一天，数学学习小组的三名同学小聪、小明、小雨发现一把30°的直角尺斜靠在教室的墙角（如图，△ABC中的直角边BC长为50cm），小聪提议针对这一现象，每人提出一个数学问题．
（1）小明量了OB的长度并给出了第一个问题：“我量得OB=40cm，则OC=______”
（2）突然，由于支撑不住，尺子紧贴着墙面慢慢滑下来，点B沿墙EO向下滑动，点C沿底OF向右滑动，小雨立即给出了第二个问题：“如果点B始终沿着EO下滑至点O为止，在这个过程中，点B下滑的距离与点C向右滑动的距离有可能相等吗？为什么？”
（3）轮到小聪了，她想了会儿说道：“在听小雨所说的整个下滑过程中，点A与墙角O的最大距离是多少？”
请同学们分别回答上述三个思考题．

Answer 1

解：（1）∵∠BOC=90°，BO=40cm，BC=50cm，
∴CO==30（cm）；
故答案为：30cm；

（2）设点B下滑xcm时点C向右滑动xcm，
则（40-x）²+（30+x）²=50²，
解得：x₁=0（舍去），x₂=10，
答：点B下滑的距离与点C向右滑动的距离有可能相等，点B下滑10cm时点C向右滑动10cm；

（3）取BC的中点E，连接AE、OE，
∵∠ACB=30°，BC=50cm，
∴BE=25cm，AB=BC×tan30°=（cm），
∴AE=
∵OA≤AE+OE，
∴当A、E、O在一条直线上时，OA最大，此时OA=AE+OE=+25=+25．
答：点A与墙角O的最大距离是（+25）cm．
分析：（1）直接利用勾股定理求出CO的长度即可；
（2）首先表示出BO，CO的长，再利用勾股定理求出即可；
（3）首先求出AE，OE的长，再利用勾股定理得出AE的长，进而得出AO的最大长度．
点评：此题主要考查了勾股定理的应用以及锐角三角函数关系等应用，根据已知得出AE的长是解题关键．