Question

【题目】如图，一次函数 yax 2(a0) 的图象与反比例函数 y(k0) 的图象交于 A、B两点，且与x轴、y轴分别交于点C、D．已知 tan∠AOC=，AO=．

（1）求这个一次函数和反比例函数的解析式；

（2） 若点 F 是点D 关于 x 轴的对称点，求△ABF 的面积．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣，y=﹣x﹣2；（2）8

【解析】分析：（1）先过点A作AE⊥x轴于E，构造Rt△AOE，再根据tan∠AOC=，AO=，求得AE=1，OE=3，即可得出A（-3，1），进而运用待定系数法，求得一次函数和反比例函数的解析式；

（2）先点F是点D关于x轴的对称点，求得F（0，2），再根据解方程组求得B（1，-3），最后根据△ABF的面积=△ADF面积+△BDF面积，进行计算即可．

详解：（1）过点A作AE⊥x轴于E，

∵tan∠AOC=，AO=，

∴Rt△AOE中，AE=1，OE=3，

∵点A在第二象限，

∴A（﹣3，1），

∵反比例函数y=（k≠0）的图象过点A，

∴k=﹣3×1=﹣3，

∴反比例函数的解析式为y=﹣，

∵一次函数y=ax﹣2（a≠0）的图象过点A，

∴1=﹣3a﹣2，

解得a=﹣1，

∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；

（2）一次函数的解析式y=﹣x﹣2中，令x=0，则y=﹣2，

∴D（0，﹣2），

∵点F是点D关于x轴的对称点，

∴F（0，2），

∴DF=2+2=4，

解方程组，可得或，

∴B（1，﹣3），

∵△ADF面积=×DF×CE=6，

△BDF面积=×DF×|xB|=2，

∴△ABF的面积=△ADF面积+△BDF面积=6+2=8．