Question

6．如图：P为△ABC边AB上一点且AP：BP=1：2，E、F分别是PB，PC的中点，△ABC、△PEF的面积分别为S和S₁，则S和S₁的关系式（　　）

• A． S₁=$\frac{1}{3}$S
• B． S₁=$\frac{1}{4}$S
• C． S₁=$\frac{2}{3}$S
• D． S₁=$\frac{1}{6}$S

Answer 1

分析 先利用三角形中位线的性质得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，则可判断△PEF∽△PBC，利用相似三角形的性质得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△PBC}}$=$\frac{1}{4}$，接着利用三角形面积公式得到S_△PBC：S_△PAC=1：2，所以S_△PBC=2S₁，于是得到S=6S₁．

解答 解：∵E、F分别是PB，PC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴△PEF∽△PBC，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{△PBC}}$=（$\frac{EF}{BC}$）²=（$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
即S_△PBC=4S₁，
∵AP：BP=1：2，
∴S_△PBC：S_△PAC=1：2，
∴S_△PBC=2S₁，
∴S=4S₁+2S₁=6S₁，
即S₁=$\frac{1}{6}$S．
故选D．

点评 三本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长或利用相似比表示面积之间的关系．