Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上.连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
(1)求证：.
(2)求证：．
(3)若AB=AC=2，求MN的长.
    

Answer 1

（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，∴DN∥BF，
∴△ADM∽△ABG， 
∴,同理可得．
∴．
（2）证明：
由（1）可知，同理也可以得到,
∴,.
∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°．
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC=Rt∠，
∴△BGD∽△EFC． ∴.
∵DG,GF,EF是同一个正方形的边长，∴DG="GF=EF." ∴
∴, ∴MN ²＝DM·EN 
（3）MN=

 （1）通过三角形相似，证明线段之比相等；
（2） ∵   ∴ 
∵∠B=∠C＝45^o , 四边形DEFG是正方形，
∴
∵ 由（1）(2)可得 
∴