【题目】如图,P是边长为3的等边△ABC边AB上一动点,沿过点P的直线折叠∠B,使点B落在AC上,对应点为D,折痕交BC于E,点D是AC的一个三等分点,PB的长为______.
【答案】或
【解析】
两种情形:①如图1中,当AD=AC=1时,设PB=x,②如图2中,当AD=AC=2时,利用相似三角形的性质求解即可.
解:两种情形:①如图1中,当AD=AC=1时,设PB=x,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=3,∠A=∠B=∠C=60°,
∵∠PDE=∠B=60°,∠PDC=∠PDE+∠EDC=∠A+∠APD,
∴60°+∠EDC=60°+∠APD,
∴∠EDC=∠APD,
∴△APD∽△CDE,
∴,
∴,
∴BE=DE=,EC=,
∵BE+EC=3,
∴+=3,
∴x=.
②如图2中,当AD=AC=2时,
由△APD∽△CDE,可得,
∴,
∴DE=,EC=,
∵BE+EC=3,
∴=3,
∴x=,
综上所述,PB的长为或.
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【题目】如图①,在中,,,点、分别是、的中点,连接.
(1)在图①中,的值为______;的值为______.
(2)若将绕点逆时针方向旋转得到,点、的对应点为、,在旋转过程中的大小是否发生变化?请仅就图②的情形给出证明.
(3)当在旋转一周的过程中,,,三点共线时,请你直接写出线段的长.
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【题目】如图在△ABC中,∠C=90°,点O在AC上,以AO为半径的⊙O交AB于D, BD的垂直平分线交BD于F,交BC于E,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若∠B=30°,BC=,且AD∶DF=1∶2,求⊙O的直径.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AC平分∠DAB,AC2=ABAD,∠ADC=90°,点E为AB的中点.
(1)求证:△ADC∽△ACB.
(2)若AD=2,AB=3,求的值.
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【题目】等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm,点P、Q分别从A、C两点同时出发,均以1cm/秒的相同速度作直线运动,已知P沿射线AB运动,Q沿边BC的延长线运动,PQ与直线AC相交于点D.设P点运动时间为t,△PCQ的面积为S.
(1)求出S关于t的函数关系式;
(2)当点P运动几秒时,S△PCQ=S△ABC?
(3)作PE⊥AC于点E,当点P、Q运动时,线段DE的长度是否改变?证明你的结论.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),tan∠BAC=.
(1)求过点A,B的直线的函数表达式;
(2)在x轴上找一点D,连接BD,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;
(3)在(2)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出的m值;如不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AD>AB.
(1)作出∠ABC的平分线(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线交AD于点E,AF⊥BE,垂足为点O,交BC于点F,连接EF.求证:四边形ABFE为菱形.
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【题目】如图,反比例函数y=(x>0)的图象与直线y=x交于点M,∠AMB=90°,其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A、B,四边形OAMB的面积为6.
(1)求k的值;
(2)点P在(1)的反比例函数y=(x>0)的图象上,若点P的横坐标为3,在x轴上有一点D(4,0),若在直线y=x上有动点C,构成△PDC,其面积为3,请写出C点的坐标;
(3)若∠EPF=90°,其两边分别为与x轴正半轴,直线y=x交于点E、F,问是否存在点E,使PE=PF?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
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