Question

1．如图，抛物线y=x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x-3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（-4，-5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A坐标，然后用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先确定出PD=|m²+4m|，当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，得到|m²+4m|=3，分两种情况进行讨论计算即可；
（3）方法1、由△PAM为等腰直角三角形，得到∠BAP=45°，从而求出直线AP的解析式，最后求出直线AP和抛物线的交点坐标即可．
方法2、先求出AE=3$\sqrt{5}$，AF=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，再用角平分线定理即可求出点P的坐标．
方法3、先判断出△PMQ≌△AMN，进而求出点P的横坐标和纵坐标，再代入抛物线解析式即可．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{1}{2}$x-3交于A、B两点，其中点A在y轴上，
∴A（0，-3），
∵B（-4，-5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{16-4b+c=-5}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²+$\frac{9}{2}$x-3，
（2）存在，
设P（m，m²+$\frac{9}{2}$m-3），（m＜0），
∴D（m，$\frac{1}{2}$m-3），
∴PD=|m²+4m|
∵PD∥AO，
∴当PD=OA=3，故存在以O，A，P，D为顶点的平行四边形，
∴|m²+4m|=3，
①当m²+4m=3时，
∴m₁=-2-$\sqrt{7}$，m₂=-2+$\sqrt{7}$（舍），
∴m²+$\frac{9}{2}$m-3=-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴P（-2-$\sqrt{7}$，-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），
②当m²+4m=-3时，
∴m₁=-1，m₂=-3，
Ⅰ、m₁=-1，
∴m²+$\frac{9}{2}$m-3=-$\frac{13}{2}$，
∴P（-1，-$\frac{13}{2}$），
Ⅱ、m₂=-3，
∴m²+$\frac{9}{2}$m-3=-$\frac{15}{2}$，
∴P（-3，-$\frac{15}{2}$），
∴点P的坐标为（-2-$\sqrt{7}$，-1-$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（-1，-$\frac{13}{2}$），（-3，-$\frac{15}{2}$）．
（3）方法一，如图，

∵△PAM为等腰直角三角形，
∴∠BAP=45°，
∵直线AP可以看做是直线AB绕点A逆时针旋转45°所得，
设直线AP解析式为y=kx-3，
∵直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，
∴k=$\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}}$=3，
∴直线AP解析式为y=3x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y={x}^{2}+\frac{9}{2}x-3}\end{array}\right.$，
∴x₁=0（舍）x₂=-$\frac{3}{2}$
当x=-$\frac{3}{2}$时，y=-$\frac{15}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．
方法二：如图，

∵直线AB解析式为y=$\frac{1}{2}$x-3，
∴直线AB与x轴的交点坐标为E（6，0），
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，
∵A（0，-3），
∴直线AF解析式为y=-2x-3，
∴直线AF与x轴的交点为F（-$\frac{3}{2}$，0），
∴AE=3$\sqrt{5}$，AF=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，
过点A作∠EAF的角平分线交x轴于点G，与抛物线相较于点P，过点P作PM⊥AB，
∴∠EAG=45°，
∴∠BAP=45°，
即：△PAM为等腰直角三角形．
设点G（m，0），
∴EG=6-m．FG=m+$\frac{3}{2}$，
根据角平分线定理得，$\frac{AE}{AF}=\frac{EG}{FG}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{\frac{3}{2}\sqrt{5}}=\frac{6-m}{m+\frac{3}{2}}$，
∴m=1，
∴G（1，0），
∴直线AG解析式为y=3x-3①，
∵抛物线解析式为y=x²+$\frac{9}{2}$x-3②，
联立①②得，x=0（舍）或x=-$\frac{3}{2}$，
∴y=-$\frac{15}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．

方法3，如图1，过点M作直线l∥y轴，过点A作AN⊥l于N，过点P作PQ⊥l于Q，
∵PM⊥AB且AM=PM，
易知△PMQ≌△AMN，∴MN=PQ，MQ=AN，
设M（m，$\frac{1}{2}$m-3），
∴Q（m，m²+$\frac{9}{2}$m-3），
∴PQ=MN=-$\frac{1}{2}$m=x_P-x_Q=x_P-m，
∴x_P=$\frac{m}{2}$，
MQ=AN=-m=y_M-y_P=$\frac{1}{2}$m-3-y_P，
∴y_P=$\frac{3}{2}$m-3，
∴$\frac{3}{2}$m-3=（$\frac{1}{2}$m）²+$\frac{9}{2}$×$\frac{1}{2}$m-3，
∴m=-3或m=0（舍），
∴P（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{2}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是确定以O，A，P，D为顶点的平行四边形时，OA和PD是对边，也是本题的难点．