Question

9．如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E．求证：EM=MC．

Answer 1

分析 延长CD、EM交于点N，由AAS证明△AEM≌△DNM，得出ME=MN，证出CE⊥CD，得出∠DCE=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

解答 证明：延长CD、EM交于点N，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEM=∠N，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△AEM和△DNM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEM=∠N}&{\;}\\{∠AME=∠DMN}&{\;}\\{AM=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△DNM（AAS），
∴ME=MN，
∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴∠DCE=90°，
∴MC=$\frac{1}{2}$EN=EM，
即EM=MC．

点评 本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形斜边上的中线性质，证明三角形全等是解决问题的关键．