Question

已知：如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；

解答：（1）证明：∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：△PHD的周长不变为定值8．
证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中，

∠APB=∠BPH ∠A=∠BQP BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=QB．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）．
∴CH=QH．
∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．