Question

1．如图，已知Rt△ABC是直角边长为l的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…依此类推．
①第4个等腰直角三角形的面积是4；
②第n个（n＞2）等腰直角三角形的面积是2^n-2．

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍得到第1个等腰直角三角形的直角边长为1，则它的面积=$\frac{1}{2}$，同样方法得到第2个等腰直角三角形的直角边长=$\sqrt{2}$，它的面积=1，第4个等腰直角三角形的直角边长=2$\sqrt{2}$，它的面积=4；
②利用①中的面积变换规律易得第n个（n＞2）等腰直角三角形的面积．

解答 解：①第1个等腰直角三角形的直角边长为1，它的面积=$\frac{1}{2}$•1•1=$\frac{1}{2}$，
第2个等腰直角三角形的直角边长=1×$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，它的面积=$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{2}$）²=1
第3个等腰直角三角形的直角边长=$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2，它的面积=$\frac{1}{2}$•2²=2，
第4个等腰直角三角形的直角边长=2×$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$，它的面积=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{2}$）²=4；
②第n个（n＞2）等腰直角三角形的面积=$\frac{1}{2}$•2^n-1=2^n-2．
故答案为4，2^n-2．

点评 本题考查了等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．等腰直角三角形的两个锐角都是45°，斜边为直角边的$\sqrt{2}$倍；斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径．